V originále
We introduce a new coherent risk measure, the minimal-entropy risk measure, which is built on the minimal-entropy 𝜎-martingale measure—a concept inspired by the well-known minimal-entropy martingale measure used in option pricing. While the minimal-entropy martingale measure is commonly used for pricing and hedging, the minimal-entropy 𝜎-martingale measure has not previously been studied, nor has it been analyzed as a traditional risk measure. We address this gap by clearly defining this new risk measure and examining its fundamental properties. In addition, we revisit the entropic risk measure, typically expressed through an exponential formula. We provide an alternative definition using a supremum over Kullback–Leibler divergences, making its connection to entropy clearer. We verify important properties of both risk measures, such as convexity and coherence, and extend these concepts to dynamic situations. We also illustrate their behavior in scenarios involving optimal risk transfer. Our results link entropic concepts with incomplete-market pricing and demonstrate how both risk measures share a unified entropy-based foundation.
In Czech
Zavádíme novou koherentní míru rizika, míru rizika minimální entropie, která je postavena na míře minimální entropie 𝜎-martingaleově míře - konceptu inspirovaném známou martingaleovou mírou minimální entropie používanou při oceňování opcí. Zatímco martingalová míra minimální entropie se běžně používá pro oceňování a zajištění, míra minimální entropie 𝜎-martingaleova míra nebyla dosud studována ani analyzována jako tradiční míra rizika. Tuto mezeru řešíme jasnou definicí této nové míry rizika a zkoumáním jejích základních vlastností. Kromě toho se znovu zabýváme entropickou mírou rizika, která se obvykle vyjadřuje pomocí exponenciálního vzorce. Uvádíme alternativní definici pomocí suprema nad Kullback-Leiblerovými divergencemi, čímž je její souvislost s entropií jasnější. Ověřujeme důležité vlastnosti obou měr rizika, jako je konvexita a koherence, a rozšiřujeme tyto koncepty na dynamické situace. Ilustrujeme také jejich chování ve scénářích zahrnujících optimální přenos rizika. Naše výsledky propojují entropické koncepty s neúplným tržním oceňováním a ukazují, jak obě míry rizika sdílejí jednotný základ založený na entropii.