V originále
This paper develops a unified framework for mathematical finance under general semimartingale models that allow for dividend payments, negative asset prices, and unbounded jumps. We present a rigorous approach to the mathematical modeling of financial markets with dividend-paying assets by defining appropriate concepts of numéraires, discounted processes, and self-financing trading strategies. While most of the mathematical results are not new, this unified framework has been missing in the literature. We carefully examine the transition between nominal and discounted price processes and define appropriate notions of admissible strategies that work naturally in both settings. By establishing the equivalence between these models and providing clear conditions for their applicability, we create a mathematical foundation that encompasses a wide range of realistic market scenarios and can serve as a basis for future work on mathematical finance and derivative pricing. We demonstrate the practical relevance of our framework through a comprehensive application to dividend-paying equity markets where the framework naturally handles discrete dividend payments. This application shows that our theoretical framework is not merely abstract but provides the rigorous foundation for pricing derivatives in real-world markets where classical assumptions need extension.
Česky
Tato práce vyvíjí jednotný rámec pro matematické finance v rámci obecných semimartingalových modelů, které umožňují výplatu dividend, záporné ceny aktiv a neomezené skoky. Představujeme rigorózní přístup k matematickému modelování finančních trhů s aktivy vyplácejícími dividendy definováním vhodných konceptů numerických, diskontovaných procesů a samofinancujících obchodních strategií. I když většina matematických výsledků není nová, tento jednotný rámec v literatuře chybí. Pečlivě zkoumáme přechod mezi procesy nominálních a diskontovaných cen a definujeme vhodné pojmy přípustných strategií, které přirozeně fungují v obou prostředích. Stanovením ekvivalence mezi těmito modely a poskytnutím jasných podmínek pro jejich použitelnost vytváříme matematický základ, který zahrnuje širokou škálu realistických tržních scénářů a může sloužit jako základ pro budoucí práci v oblasti matematických financí a oceňování derivátů. Demonstrujeme praktickou relevanci našeho rámce prostřednictvím komplexní aplikace na akciové trhy vyplácející dividendy, kde rámec přirozeně zpracovává diskrétní výplaty dividend. Tato aplikace ukazuje, že náš teoretický rámec není jen abstraktní, ale poskytuje rigorózní základ pro oceňování derivátů na reálných trzích, kde je třeba rozšířit klasické předpoklady.